算数のおもしろ問題を紹介! 第3問

算数のおもしろさを知ってもらうために始めたコーナーの第3回。

 

前回はこちら

算数のおもしろ問題を紹介! 第2問 - やり場のない思いをぶつける

 

今回は魔方陣の問題。

 

2005年算数オリンピック トライアル問題から

 

 

1〜9の整数のうちの7つを図の○の中に入れ、直線で結ばれる3つの○の数の積を等しくなるようにしたとき、?の中に入る数を求めなさい。

 

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どうでしょうか。しばし、考えてみて下さい。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

では、解説に入りたいと思います。

 

 

まず最初に考えるべきなのは、1〜9の9つの数字の中から使わない数字を2つ選ぶ、ということです。

 

 

この2つの数字は直感でも簡単に分かると思います。

 

 

 

そうです。5と7です。

 

 

なぜかというと、この2つは素数であり今回はそれぞれ1つずつしかないため、これらを3つの数字の積に含める場合、全ての積に含まれていなければなりませんが、上の図を見る限り、そうすることはできません。

 

 

つまり、今回使われる数字は、1.2.3.4.6.8.9の7つということが分かります

 

 

 

で、次に注目すべきは3の倍数です。

 

 

今回のケースでは、3、6、9ですね。

 

 

ここで今回の図を振り返ってみましょう。

 

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この7つの〇の中に3、6、9を上手いこと入れなければなりません。

 

 

しかも、の積が同じになるようにして。

 

 

そこで、まず最初に考えるべきは9です。

 

 

なぜなら9は、3の倍数でありながら9の倍数でもあるからです。

 

 

言い換えると、9が存在するために、の積は全て9の倍数になる、ということです。

 

 

以上を踏まえると、3、6、9の配置はこれしかありえません(3と6は逆でも大丈夫です)。

 

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の両方にかかる位置に9を、その2つと関わらない位置に3と6を当てはめます。

 

 

 

さて、ここまでくれば答えは分かりましたね?

 

 

 

え?まだ分からんって?

 

 

いやいや、よく見てください。

 

 

は9と?となんかの積

は3と6となんかの積です。

 

 

問題の条件からこのの積は同じです。

 

 

 

つまり、

 

 

9×?×なんか=3×6×なんか

 

 

となります。

 

 

そうです。なんかはこの時点でもうなんでもよくて、?は2となります。

 

 

 

ちなみに全部当てはめるとこんな感じになります。3つの積は72です。

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どうでしたか?正解できましたか?

 

 

 

今回の問題はじっくり考えれば正解できたんじゃないでしょうか?

 

 

 

算数オリンピックの問題はこの他にもいい問題、面白い問題がたくさんあるので興味を持った人は是非調べて解いてみてくださいね。

 

 

僕も、また、いい問題を見つけたら紹介してみようと思います。

 

 

 

では、今回はここまで。