2019年度 京大数学を嗜む (第5問)

数学といえば、ちょっとお堅いイメージがあると思います。が、京大数学は、わりと見た目にも面白い問題を出題していたりします。

 

そこで、そんな京大数学の今年の本試から一問、気になった問題を紹介してみようと思います。

 

問題

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簡単に説明すると、球に内接する四角錐のうち、体積が最大になるのはどんな四角錐だろうか?という問題です。

 

予想

簡単な図を書いてみました。

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まあ、だいたいの人はこんな感じの四角錐を思い浮かべるだろうと思います。底辺は球の真ん中よりやや下で、高さが最大になるところ

 

では、もっと具体的に考えてみましょう。なんとなくのイメージで、底辺の正方形はどのくらいの位置にあると思いますか?球の中心から球の底までを1とした時、正方形はどのあたりにくるでしょうか。

 

上の図のようなイメージを持っていた人は、球の中心からだいたい1/3くらいの位置かなぁ?と考える人も多いと思います。

 

 

 

素晴らしい!それが正解です!!正確に言うと、球の中心から1/3の位置に正方形を置き、その真上に頂点を持ってきた四角錐が正解の図形です。

 

簡単ですね。これが京大数学の良さです。が!数学の問題として解答するには、もちろんこれでは全然ダメ。なんとなく1/3だと思ったから、では0点です。それでも、このように誰でも簡単に答えが予想できるというのは、頭が痛くなりがちな数学の問題としては画期的な気がします。

 

解説

まずはここから。

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球をスパスパっと切ると、こんな扇型の図が現れます。左のとんがってるところが、四角錐の角。半径が1の円で、中心から求める正方形までの距離をaとしました。?は正方形の対角線の半分です。

正方形の断面図↓

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ここで活躍するのは、三平方の定理(ピタゴラスの定理)。おそらく中学生で習う、誰しもが聞いたことがあるものです。a²+b²=c² というやつ。これを用いれば、?の値はすぐに求まります。

 

?が分かれば、底辺の正方形の面積も求められます。対角線×対角線÷2ですね。そして、四角錐の高さは1+1/3=4/3となることから、四角錐の体積Vは正方形の面積×高さ÷3で簡単に求められます。これは小学生でも分かるような内容ですね。

 

V=2/3(−a³−a²+a+1)

 

今までの考えを元に計算すると、求める体積Vは上の式で表されます。

 

さて、ここまでは小学生中学生くらいの話でしたが、ここからは高校生で習う微分を利用します。微分と聞いただけで両手を上げてしまう人も多いかもしれませんが、この微分はめちゃくちゃ簡単です。微分を習いたての高校生でも解けるレベルだと思います。

 

詳しくは説明しませんが、自乗を前に出して、くらいを1つ下げて、因数分解して、増減表を書けば、a=1/3となるはずです。あとは、この値を元のVの式に当てはめるだけですね。

 

答えはあえて書かないので、気になる人は予備校の解答速報などを見てみて下さい。

 

まとめ

京大の数学の問題、いかがだったでしょうか。おそらく、全6題あるうち、これが一番簡単な問題だと思います。しかし、発想次第では中学生くらいでも、答えに近いところまでは解くことができる、というのは京大数学の良さだと思います。

 

もし、気になった人がいれば、過去問を覗いてみて下さい。想像力を掻き立てられるような問題が、いくつも見つかることでしょう。

 

 

最後に、1つだけ有名な問題を置いておきますね。3本のテレビ塔の問題です。分かってしまえば、計算いらずのとても良い問題です。頭の体操にでもどうぞ。

 

 平地に3本のテレビ塔があり、ひとりの男がこの平地の異なる3点A,B,Cに立って、その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうちの2つの先端が重なって見えた。このとき、A,B,Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ。(1966年、京大)